Може ли разликата между локална и абсолютна / глобална максимална и минимална точка да се намери математически (без графики)?


Отговор 1:

Отиваш на математически теореми и доказателства, за да работиш по този начин.

Ако сте в състояние да докажете, че вашата функция е изпъкнала функция, тогава знаете, че тя има само един локален минимум и следователно абсолютен минимум. Същият аргумент може да бъде направен за максимуми, ако вземете отрицанието на функцията.

Ако сте в състояние да докажете, че функцията ви е втора диференцируема и второто производно е негативно почти навсякъде, току-що сте доказали, че е изпъкнала и тогава можете да използвате това.

Ако вашата функция на реална променлива е полином с нечетен ред, отколкото знаете, тя няма абсолютен екстрем. Ако е равномерно, тогава поглеждате знака на основния термин и или нямате абсолютни максимуми, или абсолютни минимуми.

Ако можете да разделите функцията си на куп парчета, където всяко от тези парчета има горните свойства, тогава можете да филтрирате възможните кандидати за глобален екстрем.

Най-накрая, когато имате ограничен списък с точки, винаги можете да ги проверите.

Там, където нещата стават трудни, е когато работите с функции (или техните негативи), които не са изпъкнали и недиференцирани. В този момент колкото по-малко знаете за функцията, толкова по-малко сте в състояние да докажете, че една крайна точка е глобална екстремна точка.

Теорията за оптимизация е много голяма област от съвременните математически изследвания.